Многочлены Чебышёва

Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва.

Первая последовательность, Tn(x), многочлен Чебышёва первого рода характеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1].

Вторая последовательность, Un(x), многочлен Чебышёва второго рода характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.

Содержание

Рекурсивное определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

Явные формулы

Из теории линейных рекуррент можно вывести явную формулу для многочленов Чебышёва: T_n(x)=\frac{1}{2}[(x+\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^n]. Однако, вычисления по этой формуле требуют работы с комплексными числами при x\in[-1;1].

Тригонометрическое определение

Многочлены Чебышёва первого рода Tn(x) могут быть также определены с помощью равенства:

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,

Многочлены Чебышёва второго рода Un(x) могут быть также определены с помощью равенства:

U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

Примеры

Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,

Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,

Свойства

Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:

  1. Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению.
  2. Минимальность нормы на отрезке [ − 1,1] среди всех полиномов имеющих такой же коэффициент при старшей степени.
  3. Среди всех полиномов, имеющих на отрезке [ − 1,1] норму, не превышающую норму полинома Чебышёва, полинимом Чебышева первого рода принимает наибольшие по модулю значения за пределами этого отрезка.
  4. Нули полинома Чебышёва являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home