Периодическое состояние

Периоди́ческое состоя́ние - это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем \{X_n\}_{n \ge 0} с матрицей переходных вероятностей P. В частности, для любого n \in \mathbb{N}, матрица P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right) является матрицей переходных вероятностей за n шагов. Рассмотрим последовательность n \to p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}. Число

d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} > 0 \right),

где gcd обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния j.

Замечание

Таким образом, период состояния j равен d(j), если из того что p_{jj}^{(n)}>0 следует, что n делится на d(j).

Периодические состояния и цепи

  • Если d(j) > 1, то состояние j называется периоди́ческим. Если d(j) = 1, то состояние j называется апериоди́ческим.
( i \leftrightarrow j ) \Rightarrow ( d(i) = d(j) ).

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

  • Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в обратном случае.


Классификация состояний и цепей Маркова
Состояние: апериодическое | возвратное | достижимое | невозвратное | несущественное | нулевое | периодическое | положительное | сообщающееся | существенное
Цепь: апериодическая | возвратная | невозвратная | неразложимая | нулевая | периодическая | положительная | разложимая | эргодическая
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home