Функция (математика)

Отображе́ние или фу́нкция (лат. functioисполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Содержание

Определение

Пусть X и Y — два множества. Закон F, согласно которому каждому элементу x \in X поставлен в соответствие единственный элемент y \in Y, называется отображением множества X в множество Y.

При этом:

  • Множество X тогда называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(f) или D(y).).
  • Множество Y - о́бластью значе́ний отображения F.
  • Элемент x называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
  • Элемент y = F(x)значе́нием или зави́симой переме́нной.

Обозначения

  • F:\ X \to Y или X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y для отображения F, множества X в множество Y.
  • y = F(x) или F:x \mapsto y или x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y.

Очень формальное определение

То, что приведено выше, не может считаться формальным математическим определением, по сути в нём понятие "функция" подменено словом "закон". Некоторые авторы считают функцию основным понятием, т.е. в определении не нуждающимся, но чаще всего формальные определения функции строится на основе теории множеств:

Пусть даны два множества X\! и Y\!. Отображение F\! множества X\! в множество Y\! есть подмножество F\subset X \times Y, такое, что для любого x\in X существует единственный элемент y\in Y, такой, что (x,y)\in F. Здесь X \times Y обозначает прямое произведение множеств X и Y.

Терминология

Несмотря на то, что термины отображение и функция эквиваленты, в литературе часто принято различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как \mathbb{R} или \mathbb{C}, то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X произвольной природы, а Y=\mathbb{R} или \mathbb{C}, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т.д.

Смежные понятия

Сужение

Пусть дано отображение F:X \to Y, и M \subset X. Тогда суже́нием функции F на M называется функция \left.F\right\vert_{M}, определяемая равенством

\left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M.

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Образ множества

Пусть M \subset X. Тогда о́бразом множества M называется подмножество Y, определяемое равенством

F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}.

Множество F(X) называется образом отображения F.

Прообраз

Пусть задано отображение F:X \to Y, x\in X, \;y\in Y и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент x\in X должен иметь ровно один образ, но элемент y\in Y может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, где F(x) = x2. Тогда

  • y = − 1 не имеет прообразов;
  • y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
  • y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.

Полный прообраз элемента

Пусть задано отображение F:X \to Y, и y \in Y. Тогда множество \{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F - 1(y).

Пример. Пусть F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = sinx. Тогда

F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.

Полный прообраз множества

Пусть N \subset Y. Тогда проо́бразом множества N называется подмножество X, определяемое равенством

F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}.

Пример. Пусть F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, и F(x) = cosx. Тогда

  • F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1],
  • F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right].

Свойства прообразов и образов

  • F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y;
  • F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y;
  • F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X;
  • F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

График

Пусть дано отображение F: X \to Y. Тогда его гра́фиком Γ называется множество

\Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y,

где X \times Y обозначает декартово произведение множеств X и Y.

  • График непрерывной функции F:\mathbb{R} \to \mathbb{R} является кривой на двумерной плоскости.
  • Графиком непрерывной функции F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} является поверхность в трёхмерном пространстве.

Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л.Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д.Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (17971802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: "Функция fx обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной x". Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

См. также

Различные классы функций:

Литература

  • Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
  • Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
  • Никольский С.М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
  • История математики, т.2-3, М., 1970-72.
  • Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home