Индикатор (математика)

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества A \subseteq X — это функция, определенная на множестве X, которая указывает на приналежность элемента x \in X подмножеству A.

Термин характеристическая функция уже занят в теории вероятностей. По этой причине, почти исключительно одни вероятностники используют термин индикаторная функция для определяемой здесь функции, в то время как математикам из других областей для описания принадлежности элементов множеству больше нравится использовать термин характеристическая функция.

Содержание

Определение

Пусть A\subseteq X — выбранное подмножество произвольного множества X. Функция \mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}, определенная следующим образом:

\mathbf{1}_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1, &x \in A, \\ 0, &x \notin A, \end{matrix}\right.

называется индикатором множества A.

Альтернативными обозначениями индикатора множества A являются: χA или \mathbf{I}_A, а иногда даже A(x). Скобка Иверсона позволяет обозначение [x \in A].

(Греческая буква χ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение \mathbf{1}_A может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество A \subseteq X с его индикатором \mathbf{1}_A инъективно. Если A и B — два подмножества X \, то

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),
\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A.

Более общо, предположим A_1,\ldots, A_n — это набор подмножеств X. Ясно, что для любого x \in X

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех x \in X, которые не принадлежат ни одному множеству Ak и 0 иначе. Поэтому

\prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Разворачивая левую часть, получаем

\mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k},

где | F | — мощность F. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если Xвероятностное пространство с вероятностной мерой \mathbf{P}, а A — измеримое множество, то индикатор \mathbf{1}_A становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности A:

E(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0262032937. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.

См. также


 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home