Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Содержание

Свойства

Координаты

Пусть x0 и y0 — координаты центра, а Rрадиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, φ0 — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного многоугольника определяются формулами

x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),
y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right),

где i = 0 \dots n - 1.

Размеры

Пусть Rрадиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r = R \cos \frac{\pi}{n},

а длина стороны многоугольника равна

t = 2 R \sin \frac{\pi}{n}.

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны t составляет

S = \frac{n}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{n}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R составляет

S = \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r составляет

S = n r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}.

Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.[1]

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m - 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2^m \cdot P_1^r \cdot P_2^s сторонами, где m — целое неотрицательное число, P₁ и P₂ — числа 3 и 5, а r и s могут варьироваться в пределах 0 и 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать более общо, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}, где {k_0},{k_1}\cdots{k_s} — целые неотрицательные числа, а pj — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено самим Гауссом в том же 1796 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

Ссылки

  1. А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.


Правильные многоугольники
Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник
(См. также: Многоугольник)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home