Теорема Больцано — Вейерштрасса

Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства.

Доказательство

Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой:

  1. Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.
  2. Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них.
  3. Продолжим деление отрезков по индукции.
  4. Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно, имеет одну общую точку.
  5. Далее построим подпоследовательность, чтобы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an, это возможно.
  6. Полученная подпоследовательность имеет предел.

История

Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817, позже она была независимо получена Вейерштрассом.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home