Архимедова спираль

Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  \rho = k\phi, \,\!

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

Повороту прямой на соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2kπ. Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

\rho = \frac{a}{2\pi}\phi. \,\!


При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении — по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям φ соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе верви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали a = 2kπ. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Площадь сектора

Площадь S сектора OCM:

S = \frac{1}{6} \phi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right)\,\!,

  \left(2 \right)

где ρ = OC, ρ' = OM, \phi = \angle COM.

При ρ = 0, ρ' = a, φ = 2π, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1 \,\!,

где S'1 — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — a.

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги dl равен (см. Рис.3):

dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2}\,\!,

где dρ — приращение радиуса ρ, при приращении угла φ на dφ. Для бесконечно малого приращения угла dφ, справедливо:

dh^2 = \left(\rho d \phi \right)^2 \,\!.

Поэтому:

dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \phi^2} \,\!

так как ρ = kφ и

dρ = kdφ

или

dl = \sqrt{k^2 d \phi^2 + k^2 \phi^2 d \phi^2} \,\!
dl = k d \phi \sqrt{1 + \phi^2} \,\!.

Длина дуги L равна интегралу от dl по dφ в пределах от 0 до φ:

L = \int_{0}^ {\phi} k \sqrt{1 + \phi^2} d \phi \,\!
L = \frac{k}{2} \left[ \phi \sqrt{1 + \phi^2} + \ln \left( \phi + \sqrt{1 + \phi^2}\right) \right] \,\!.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home