Фундаментальная группа

В алгебраической топологии и связанных с нею областях математики, фундамента́льной гру́ппой называется алгебраический объект, который сопоставляется топологическому пространству и измеряет, грубо говоря, количество дырок в нем. Наличие дырки определяется невозможностью непрерывно стянуть некоторую замкнутую петлю в точку. Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.

Определение

Пусть Xтопологическое пространство, пусть x0 — точка X, которую будем называть отмеченной. Рассмотрим множество непрерывных отображений f : [0,1] → X, таких что f(0) = x0 = f(1). Такие функции называются петлями в точке x0. Две петли f и g считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу. Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

(f * g)(t) = f(2t), если t из [0,1/2], и (f * g)(t) = g(2t-1), если t из [1/2,1].

Произведением двух гомотопических классов [f] и [g] называется гомотопический класс [f * g] произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой x0 и обозначается π1(X,x0).

Если Xлинейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать π1(X) вместо π1(X,x0) не боясь вызвать путаницу.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home