Площадь фигуры

Пло́щадь фигуры — числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём, можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция определённая на определённом классе фигур Евклидовой плоскости, такая что:

  1. (положительность) площадь неотрицательна;
  2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F называется квадрируемой, если для любого ε>0 существует пара многоугольников P и Q, такие что PFQ и S(P)−S(Q)<ε, где S(P) обозначает площадь P.

Связанные определения

  • Две фигуры называются равновеликими если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в Евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в Евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха—Тарского и парадокс Хаусдорфа).

См. также

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home