Лемма о вложенных отрезках

Последовательностью (или системой) вложенных отрезков называется последовательность отрезков, таких что каждый последующий является частью предыдущего: X_1 \supset X_2 \supset X_3 \supset ...

Лемма о вложенных отрезках
Для любой последовательности вложенных отрезков в \mathbb{R} найдётся точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Если, кроме того, длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна.


Доказательство

Из определения о вложенных отрезках.

\left\{ a_n \right\} \uparrow, что для любого n : a_n<b_1\,\!, следовательно существует \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\

\left\{ b_n \right\} \downarrow, что для любого n : b_n<a_1\,\!, и существует \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\


Т.к. мы доказываем единственность точки, следовательно пределы последовательностей в этой точке \left\{ a_n \right\} и \left\{ b_n \right\} равны. Из этого следует, \lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0\


Как нам известно \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=c^\prime\, а \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=c^{\prime\prime}\, то

\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)={\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\ \Rightarrow \ c^{\prime\prime}-c^\prime=0 \Rightarrow \ c^{\prime\prime}=c^\prime

Что и требовалось доказать.



 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home