Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятности - это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

Содержание

Определения

  • Матрица P = (P_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если
P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots и \sum\limits_{j=1}^{\infty} P_{ij} = 1, \quad \forall j.
  • Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если
P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots и \sum\limits_{i=1}^{\infty} P_{ij} = 1,\quad \forall i.
  • Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Cвойства

  • Если P и Q - две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение R = PQ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица P = (P_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N называется регуля́рной, если cуществует такое n \in \mathbb{N}, что

p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N,

где p^{(n)}_{ij} - элементы n-ой степени матрицы P, то есть P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right).

Эргодическая теорема

Если P - регулярная стохастическая матрица, то найдется вектор \mathbf{\pi} = (\pi_1,\ldots,\pi_N)^{\top} такой, что

P^n \to \mathbf{1}^{\top} \mathbf{\pi},

где \mathbf{1} = (1,\ldots, 1)^{\top} - вектор размерности N \times 1, состоящий из единиц.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home