Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана ζ(s) определена с помощью ряда Дирихле:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

В области \left\{ s : \operatorname{Re}(s) > 1\right\}, этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Содержание

Свойства

  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}, где B2mчисло Бернулли.

В частности, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.

Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно рациональное.
  • При \operatorname{Re}(s)> 1
  • \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}
где μ(n)функция Мёбиуса
  • \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}
где τ(n) — число делителей числа n
  • {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}
где ν(n) — число простых делителей числа n
  • ζ(s) допускает аналитическое продолжение на всю комплексную s-плоскость и является регулярной функцией для всех значений s, кроме s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1.
    • Аналитически продолженная дзета-функция при s\ne 0, s\ne 1 удовлетворяет уравнению:
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
где Γ(z)Гамма-функция Эйлера. Это уравнение назывется функциональным уравнением Римана.
  • Для функции
\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)
введенной Риманом для исследования ζ(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
ξ(s) = ξ(1 − s)

Нули дзета-функции

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнениения Римана, в полуплоскости \operatorname{Re}(s)< 0, функция ζ(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее \zeta(s)\not=0 при вещественных s\in (0,1). Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали \operatorname{Re}(s)=1/2 и лежат в полосе 0\le\operatorname{Re}(s)\le 1, которая назывется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой 1 / 2 + it.

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1876) где дзета-функция рассматривать как функция комплексной переменной.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home