Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Эта статья в настоящий момент постепенно дописывается.
Пожалуйста, если хотите что-либо добавить в статью, сначала обсудите это с другими участниками на странице обсуждения.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка - класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad \left(1\right)\!

где функции P(t,x)\! и Q(t,x)\! определены и непрерывны в некорой области \Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}.

Содержание

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть \begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}\!, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Если Q(t,x)\ne0\! в области \Omega\!, то интегральная кривая такого уравнения имеет вид U(t,x)=C\!, откуда общее решение x=\varphi(t,C)\! определяется как неявная функция. Через каждую точку области \Omega\! проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Если рассматриваемая область \Omega\! односвязна, а производные \frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}также непрерывны в \Omega\!, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t} \qquad \forall(t,x)\in\Omega

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция \mu(t,x)\ne0\! в \Omega\! называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение \mu(Pdt+Qdx)=0\! является уравнением в полных дифференциалах, то есть \mu(Pdt+Qdx)=dU\! для некоторой функции U(t,x)\!. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция \mu(t,x)\! является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

\frac{\partial{\left(\mu P\right)}}{\partial x}=\frac{\partial{\left(\mu Q\right)}}{\partial t}\qquad \left(2\right)

(область \Omega\! по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) явлется следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде \mu=\mu(t)\! или \mu=\mu(x)\!,но это не всегда возможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)\!, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\qquad \left(3\right)\!
  • Решения уравнения с разделяющимися переменными
    • Решения уравнения X_1(x)T_2(t)=0\! являются решениями (3).
    • Если область \Omega\! выбрана так, что X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega, то разделив на X_1(x)T_2(t)\! получим уравнение с разделёнными переменными
\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку (t_0,x_0)\in\Omega\!, имеет вид:

\int_{t_0}^{t}{\frac{T_1}{T_2}dt}+\int_{x_0}^{x}{\frac{X_2}{X_1}dx}=0.

Однородные уравнения

Линейные уравнения

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home