Функция Грина

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x0, является решением уравнения (Lf)(x) = δ(xx0), где δ — дельта-функция Дирака. Если ядро оператора L нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L.

Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.

Функция Грина названа в честь английского математика Георга Грина (англ. George Green), который первым развил эту теорию в 1830-х.

Содержание

Основание

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма — Лиувилля. Пусть g — функция Грина оператора L, тогда решение f уравнения Lf = h задаётся так:

f(x) = \int{ h(s) g(x,s) \, ds}.

Это можно считать разложением h по базису из дельта-функций Дирака.

Применения функции Грина

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых проблем. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Исходные данные

Пусть L — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)

и пусть D — оператор краевых условий

Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right.

Пусть f(x)непрерывная функция на промежутке [0,1]. Предположим также, что задача

\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема

Тогда существует единственное решение u(x), удовлетворяющее системе

\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix},

и оно задаётся выражением

u(x) = \int_{0}^{l}{ f(s) g(x,s) \, ds}

где g(x,s) — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

  1. g(x,s) непрерывна по x и s.
  2. Для x \ne s, Lg(x,s) = 0.
  3. Для s \ne 0, l, Dg(x,s) = 0.
  4. Скачок производной: g'(s + 0,s) − g'(s − 0,s) = 1 / p(s).
  5. Симметрична: g(x, s) = g(s, x).

Нахождение функции Грина

Разложение

Если множество собственных векторов дифференциального оператора L :Ψn(x) (то есть набор функций  :Ψn(x) и скаляров :λn таких, что LΨn = λnΨn)) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора :Ψn(x):

\delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').

Можно показать, что

G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.

Действительно, подействовав оператором L на эту сумму, мы получим дельта функцию (в силу соотношения полноты).

Пример

Дана задача

\begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x )
Du = u(0) = 0 \quad, \quad u(\frac{\pi}{2}) = 0.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x + c_2 (s) \cdot \sin x

Для x < s из 3-го условия c1(s) = 0, в то же время для x > s выполняется c2(s) = 0.

В итоге:

g(x,s)=\left\{\begin{matrix} a(s) \sin x, \;\; x < s \\ b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.

Второй шаг: Нужно определить a(s) и b(s).

По 1-му условию

a(s)sins = b(s)coss.

Используя 4-ое условие

b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s = \frac{1}{1}
= 1\,

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для a(s) и b(s), мы получим, что a(s) = - \cos s \quad ; \quad b(s) = - \sin s.

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

g(x,s)=\left\{\begin{matrix} -1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\ -1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.

Другие примеры

  • Пусть дано многообразие R и оператор L равен d/dx. Тогда функция Хевисайда H(xx0) является функцией Грина для L при x0.
  • Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости { (x, y) : x, y ≥ 0 } и L — оператор Лапласа. Также предположим, что при x = 0 наложены краевые условия Дирихле, при y = 0 — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид
G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]
+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].

См. также

  • Дифференциальный оператор
  • Линейное дифференциальное уравнение

Литература

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-ая глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home