Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

Определение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:

\mathop{\rm sh} \,x=\frac{e^x -e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается \,\!\sinh x)

  • гиперболический косинус:

\mathop{\rm ch}\, x=\frac{e^x +e^{-x}}{2} (в зарубежной литературе обозначается \,\!\cosh x)

  • гиперболический тангенс:

\mathop{\rm th} \,x= \frac{\mathop{\rm sh} x}{\mathop{\rm ch} x} (в зарубежной литературе обозначается \,\!\tanh x).

Иногда также определяются

  • гиперболический котангенс:

\mathop{\rm cth} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm th} \;x},

  • гиперболические секанс и косеканс:

\mathop{\rm sch} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm ch}\; x}, \mathop{\rm csch} \,x= \frac{1}{\mathop{\rm sh}\; x}.


Геометрическое определение

Ввиду соотношения \mathop{\rm ch}^2 t -\mathop{\rm sh}^2 t=1 гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x2y2 = 1 (x=\mathop{\rm ch}\;t,\quad y=\mathop{\rm sh}\; t). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от комплексного аргумента.

\mathop{\rm sh} \,x=-i\sin( i x), \quad \mathop{\rm ch}\, x = \cos ix, \quad \mathop{\rm th}\, x = -i \mathop{\rm tg} (i x)

Важные тождества

  1. {\mathop{\rm ch}}^2 x -{\mathop{\rm sh}}^2 x =1
  2. Чётность
    1. \mathop{\rm sh} (-x)=-\mathop{\rm sh} \,x
    2. \mathop{\rm ch} (-x)=\mathop{\rm ch} \,x
    3. \mathop{\rm th} (-x)=-\mathop{\rm th} \,x
  3. Формулы сложения
    1. \mathop{\rm sh} (x+y)=\mathop{\rm sh} \,x \,\mathop{\rm ch}\, y+\mathop{\rm sh}\, y \,\mathop{\rm ch}\, x
    2. \mathop{\rm ch} (x+y)=\mathop{\rm ch} \,x \,\mathop{\rm ch}\, y+\mathop{\rm sh}\, y \,\mathop{\rm sh}\, x
  4. Формулы двойного угла
    1. \mathop{\rm sh} \;2x=2\mathop{\rm ch} \,x\mathop{\rm sh} \,x
    2. \mathop{\rm ch} \;2x=2{\mathop{\rm ch}}^2 x -1
  5. Производные
    1. (\mathop{\rm sh} \;x)'=\mathop{\rm ch} \;x
    2. (\mathop{\rm ch} \;x)'=\mathop{\rm sh} \;x
    3. (\mathop{\rm th} \;x)'=1/\mathop{\rm ch}^2 \;x
  6. Интегралы
    1. \int\mathop{\rm sh} \;x\; d\!x=\mathop{\rm ch} \;x+C
    2. \int\mathop{\rm ch} \;x\; d\!x=\mathop{\rm sh} \;x+C
    3. \int\mathop{\rm th} \;x\; d\!x=\ln\mathop{\rm ch} \;x+C
    4. \int\frac{1}{\mathop{\rm ch} ^2 x} d\!x=\mathop{\rm th} \;x+C
    5. \int\frac{1}{\mathop{\rm sh} ^2 x} d\!x=-\mathop{\rm cth} \;x+C

Разложение в степенные ряды

\mathop{\rm sh}\;x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\mathop{\rm ch}\;x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\mathop{\rm th}\;x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\mathop{\rm cth}\;x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (Ряд Лорана)

Здесь Bn — числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iπ(n + 1 / 2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iπn, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

читаются ареа… (-синус и т. д.) — от слова «area» («площадь»).

\operatorname{Ar\;sh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) обратный гиперболический синус \operatorname{sh} (\operatorname{Ar\;sh} x)=x
\operatorname{Ar\;ch}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1}) обратный гиперболический косинус
\operatorname{Ar\;th}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) обратный гиперболический тангенс
\operatorname{Ar\;cth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) обратный гиперболический котангенс
\operatorname{Ar\;sch}(x) = \pm \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}\right) обратный гиперболический секанс
\operatorname{Ar\;csch}(x) = \ln\left(\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}\right) (для x < 0\!\,) = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}\right) (для x > 0\!\,) обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

\operatorname{Ar\;sh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
\operatorname{Ar\;ch} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1
\operatorname{Ar\;th} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида \begin{pmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x \end{pmatrix} описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы \begin{pmatrix} \mathop{\rm ch}\;x & \mathop{\rm sh}\; x\\ \mathop{\rm sh}\;x & \mathop{\rm ch}\; x\end{pmatrix} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y=\mathop{\rm ch}\; x (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home